Введение

Для оптимального проектирования машин и конструкций необходимо знание условий, при которых в материале будут достигнуты предельные состояния при статических и циклических режимах эксплуатационного нагружения. Требуется проведение большого количества механических испытаний образцов, элементов конструкций, самих машин и конструкций, чтобы определить эти условия и выбрать необходимые запасы по расчетам на прочность, обеспечивающие полный цикл эксплуатации [1–3]. В качестве основных критериев для определения условий достижения предельных состояний используются силовые, деформационные и энергетические критерии. В работе [4] отмечено, что деформационные критерии достижения предельных состояний предпочтительнее для взаимоувязанного анализа прочности и ресурса.

Разрушение и отказ конструкций возникают, как правило, вследствие накопления повреждений при эксплуатации. Расчетные методы по определению работоспособности конструкций разрабатываются с учетом результатов испытаний образцов из материалов конструкций, наиболее распространенными из которых являются испытания на статическое растяжение [5–12]. Результат испытания на статическое растяжение – диаграмма деформирования образца, которая дает наглядное представление о поведении материала и его механических свойствах в упругой и пластической областях. В работах [13–16] рассмотрено взаимодействие основных факторов при испытаниях на растяжение образцов материалов: деформации (ε), напряжения (σ) и времени (t). Даны преимущества представления процессов испытаний и их результатов в 3D-системе осей – σ–ε–t. Введение координаты времени дает наглядное представление о том, что ни силовой, ни энергетический, ни деформационный критерии не исключают повреждаемости образца, и со временем образец, накапливая повреждения, может разрушиться.

Опыт, накопленный при исследовании механических свойств твердых деформируемых тел, показывает, что с помощью характеристик деформации, определяющих изменение положения отдельных точек тела друг относительно друга (относительных линейных деформаций ε и сдвигов τ), часто трудно построить физическую модель деформирования и разрушения твердых деформируемых тел, особенно тех, которые претерпевают значительные неупругие деформации. В то же время достаточно очевидным является тот факт, что деформирование твердого тела и процесс его разрушения проходят с изменением объема тела и площади его свободной поверхности. Точка на поверхности твердого деформируемого тела обладает избыточной, по сравнению с точкой внутри объема тела, потенциальной энергией. Как в жидкости, так и в твердом теле поверхность стремиться быть минимальной по площади. Образование новой поверхности требует затрат энергии, доставляемой телу либо извне, либо путем перераспределения энергии внутри тела.

Цель данной работы – разработка моделей деформирования и разрушения твердого деформируемого тела как процессов изменения его объема, площади поверхности и линейных размеров. При этом учитывается, что не вся выделяемая при образовании новой свободной поверхности энергия расходуется на образование поверхности. Часть энергии рассеивается в виде тепла, звуковых и электромагнитных волн.

Материалы и методы

В качестве примера рассмотрим процесс деформирования при растяжении длинного стержня круглого поперечного сечения из изотропного материала (рис. 1).

Рис. 1. Исходное (при диаметре d₀) и деформированное (при диаметре d_i) состояние цилиндрического образца на растяжение

Пусть ε – относительная продольная деформация стержня при приложении к нему растягивающей нагрузки, μ – коэффициент Пуассона. В пределах упругости (0<μ<0,5) относительное изменение расстояния между точками на образующей стержня или параллельных ей прямых равно ε. Относительное изменение площади боковой поверхности стержня равно ε(1-μ), а относительное изменение объема: ε(1-2μ). Данные значения получены при условии, что ε≤1, которое позволяет пренебречь (за их малостью) дополнительными слагаемыми, представляющими собой величины порядка ε² и ε³. Таким образом, в пределах упругой деформации по отношению к исходным величинам, менее всего меняется объем, за ним идет изменение поверхности и наибольшее относительное изменение претерпевает линейная деформация. Увеличение площади поверхности образца проходит только за счет упругой деформации. Процессы изменения объема, площади поверхности и линейных размеров являются обратимыми.

Результаты

В ходе нагружения стержня сила Р совершает работу над образцом, и эта работа преобразуется в потенциальную энергию или энергию деформации, которая накапливается в образце. Если затем силу Р медленно снять, то стержень вернется к своей исходной длине. В течение такого процесса разгрузки энергия деформации, накопленная в стержне, может быть возвращена в виде работы. Таким образом, стержень действует подобно упругой пружине, которая может накапливать и отдавать энергию при приложении или снятии нагрузки.

Полная работа, совершенная силой Р, равна энергии деформации, накопленной в стержне:

    (1)

где l₀ и l_i – начальная и конечная, после деформирования, длина образца (рис. 1); Δl– абсолютное удлинение.

Это выражение справедливо только в том случае, когда для материала соблюдается закон Гука, при этом внешняя сила Р связана с удлинением соотношением:

Δl=Pl₀/(EF) или σ=Еε, (2)

где P/F=σ – растягивающее напряжение; E – модуль упругости; F – площадь поперечного сечения образца; ε=Δl/l₀ – соответствующая относительная деформация; Δl=l_i -l₀.

Иногда полезно рассмотреть удельную энергию деформации Э (удельную работу единицы объема). Для равномерно растянутого стержня эту энергию можно получить, разделив полную энергию деформации А на объем стержня:

  (3)

где А – полная работа, затраченная на деформирование образца; V₁ – начальный объем тела до деформации; ΔV – приращение объема при деформации; ε – деформация тела; μ – коэффициент Пуассона.

Поскольку ε(1-2μ)≤1, то данное выражение можно представить как

 (4)

Удельную энергию деформации можно представить в виде следующего выражения:

 (5)

где k – константа; ε_у – предельная упругая деформация.

Увеличение площади поверхности образца проходит вследствие пластического выхода материала из объема на поверхность образца. При этом часть энергии, затрачиваемой на образование новой поверхности, рассеивается за счет нагрева образца, излучения звуковых и электромагнитных волн, что делает процесс необратимым.

Если по какой-либо причине развитие пластической деформации невозможно, увеличение площади поверхности происходит за счет образования пор и трещин. При этом часть энергии, затрачиваемой на образование новой поверхности, также рассеивается за счет излучения звуковых и электромагнитных волн. Хрупкое трещинообразование происходит с высокими скоростями появления дополнительной поверхности, причем сразу двух поверхностей, чего не происходит при пластической деформации. Ясно, что этот процесс необратим.

Таким образом, и пластическая деформация, и разрушение представляют один и тот же процесс образования новой свободной поверхности. Различие заключается в механизмах протекания этого процесса.

Из представленных моделей деформирования ясно, что наибольшие значения при упругой деформации имеет относительная продольная деформация стержня (ε).

Пусть в некоторой области твердого тела «1» накопленная потенциальная энергия деформирования превысит значение  на величину А_доп. Условие начала процесса разрушения в области «1»: А_доп>0. Формула (6) представляет равенство энергий в объеме V₁ до начала процесса разрушения и после образования одного очага разрушения со свободной поверхностью площадью S₁.

 (6)

где γ – работа, затраченная на образование единицы новой поверхности (поверхностная энергия);  – диссипативная энергия (константа) тепловых и звуковых волн из зоны разрушения, затраченная на образование единицы новой поверхности; V₂ – объем области вокруг образовавшегося дефекта, разгрузившего данную зону.

Схематично значение представлено как потенциальная энергия деформирования образца до разрушения, а  – как область вокруг образовавшегося дефекта, разгрузившего данную зону (рис. 2).

Рис. 2. Потенциальная энергия деформирования образца до разрушения и область вокруг образовавшегося дефекта

Рис. 3. Полная работа, затраченная на деформирование образца при появлении дефекта

Графически формула (6) представлена на рис. 3 с характерными точками, соответствующими исходному объему V₁ образца до разрушения и объему V₂, который соответствует области вокруг образовавшегося дефекта, разгрузившего данную зону.

Объем V₂ вокруг свободной поверхности дефекта для сохранения размерности можно представить в виде

V₂=aS^3/2,   (7)

где а – константа, определяемая ориентацией свободной поверхности в поле энергии упругой деформации.

В результате преобразований получаем

 (8)

Продифференцируем дополнительную работу по площади образовавшейся поверхности образца

 (9)

где – суммарная энергия при образовании единицы новой поверхности; 

Если полученное выражение (производная)

– А₁-BS^1/2>0, то энергии недостаточно для развития разрушения образца;

– А₁-BS^1/2=0, то данный случай является критическим состоянием, при котором любое приращение работы приведет к развитию разрушения;

– А₁-BS^1/2<0, то происходит развитие разрушения образца.

Запишем полученные условия в другом виде:

– если  где С=3/2ak – константа, то данный случай является критическим состоянием, при котором любое приращение работы приведет к развитию разрушения;

– если  то при данном размере дефекта будет происходить развитие разрушения образца.

Таким образом, можно выразить зависимость полной энергии деформации образца от площади образовавшейся свободной поверхности, которая представлена графически на рис. 4.

Рис. 4. Зависимость полной работы деформации образца от площади образовавшейся свободной поверхности

Процесс образования и развития дефекта при деформировании образца происходит стадийно и зависит от величины дополнительной работы А_доп. Так при  произойдет спонтанное распространение дефекта. При   развитие дефекта будет происходить в несколько стадий. Рассмотрим в качестве примера кривые зависимости площади образовавшейся поверхности от величины совершенной работы, обозначенные цифрами 1–10 и n–r на рис. 4. В случае кривой 1–10 можно выделить следующие стадии в образовании и развитии дефекта:

– отрезок 1–2 – в некоторой области образца, обозначенной точкой «1», накопленная потенциальная энергия деформирования превысила значение V₁kε²_y на величину A₁^доп что можно выразить суммой  

– отрезок 2–3 – при равенстве энергий в объеме V₁ до начала процесса разрушения и после образования одного очага разрушения со свободной поверхностью площадью S₁ получим  

– отрезок 3–4 – накопленная потенциальная энергия деформирования превысила значение V₂kε²_y на величину A₂^доп  что можно выразить суммой  

– отрезок 4–5 – при равенстве энергий в объеме V₂ до начала процесса разрушения и после образования одного очага разрушения со свободной поверхностью площадью S₂ получим  

– отрезок 5–6 – накопленная потенциальная энергия деформирования превысила значение  V₃kε²_y  на величину A₃^доп что можно выразить суммой   

– отрезок 6–7 – при равенстве энергий в объеме V₃ до начала процесса разрушения и после образования одного очага разрушения со свободной поверхностью площадью S₃ получим  

– отрезок 7–8 – накопленная потенциальная энергия деформирования превысила значение V₄kε²_y на величину A₄^доп что можно выразить суммой  

– отрезок 8–9 – при равенстве энергий в объеме V₄ до начала процесса разрушения и после образования одного очага разрушения со свободной поверхностью площадью S₄ получим  

– отрезок 9–10 – данный участок  предшествует образованию свободной поверхности площадью S_кр, при которой будет происходить моментальное разрушение образца.

При приложении к накопленной потенциальной энергии деформирования значения, значительно большего V₁kε²_y на величину A_n^доп будет наблюдаться всего три стадии в образовании и развитии дефекта:

– отрезок 1–n – при котором приращение энергии составит  

– отрезок n–k – при равенстве энергий в объеме V₁ до начала процесса разрушения и после образования одного очага разрушения со свободной поверхностью площадью S₃ получим  

– отрезок k–r – накопленная потенциальная энергия деформирования превысила значение V_nkε²_y на величину A_r^доп что можно выразить суммой  при этом площадь образовавшейся поверхности будет равна S_кр, при которой будет происходить мгновенное разрушение твердого тела.

Описанный постадийный процесс разрушения твердого тела можно представить в координатах «нагрузка–длина образца» (рис. 5).

Рис. 5. Зависимость нагрузки от длины образца при хрупком разрушении твердого тела 

Рис. 6. Зависимость потенциальной энергии от длины трещины (W – общая энергия трещины Гриффитса) [17]

В данном случае полная работа, затраченная на деформирование образца до образования дефекта объемом V₂, будет являться площадью заштрихованного треугольника, а диссипативная работа, рассеянная в виде тепла и других эффектов, – площадью треугольника, выделенного цветом.

Сравним полученную зависимость полной работы деформации образца от площади образовавшейся свободной поверхности с критерием Гриффитса для хрупкого разрушения материалов.

Критерий Гриффитса для разрушения тела, содержащего трещину с полудлиной a, может быть получен из данных рис. 6, на котором изображена зависимость энергии от длины трещины. Например, при плоском напряженном состоянии общая энергия

 (10)

где U – потенциальная энергия; S – поверхностная энергия; a – полудлина трещины.

Максимум кривой определяется из условия  откуда  

Полученная в данной работе зависимость полной работы деформации образца от площади образовавшейся свободной поверхности в сравнении с критерием Гриффитса для хрупкого разрушения материалов является более точной, так как в ней характер разрушения зависит от величины затрачиваемой дополнительной работы.

Критическая площадь поверхности дефекта, при увеличении которой произойдет мгновенное разрушение образца, выражается формулой

  (11)

После образования дефекта энергия в объеме снижается, потому что часть ее превращается в поверхностную энергию и энергию диссипации. Из-за появления концентратора напряжений следующее нагружение вызовет развитие появившегося дефекта.

Таким образом, разработанная модель деформирования и разрушения твердого тела (как процессов изменения объема, площади поверхности и линейных размеров) позволяет оценить размер дефекта в зависимости от локальности концентрации энергии в объеме тела и показывает возможность подрастания дефектов до критических размеров.

Обсуждение и заключения

Разработана модель деформирования и разрушения твердого деформируемого тела, а в которой происходят процессы изменения объема, площади поверхности и линейных размеров нагружаемого тела. При этом учитывается, что не вся выделяемая при образовании новой свободной поверхности энергия расходуется на образование поверхности. Часть энергии рассеивается в виде тепла, звуковых и электромагнитных волн.

Проведена оценка размеров дефекта от поры до критических размеров трещины в зависимости от локальности концентрации энергии в объеме тела, показана возможность подрастания дефектов до критических размеров.

Представлено сравнение условий потери устойчивости при развитии трещины по критерию Гриффитса и критерию, полученному в данной работе.