Введение

Одно из основных направлений развития авиационно-космической техники – увеличение скорости полета летательных аппаратов [1–3], что влечет за собой рост температуры на их поверхности и вызывает необходимость тепловой защиты конструкции аппаратов [4, 5]. В качестве эффективной внешней тепловой защиты скоростных летательных аппаратов находят применение теплоизоляционные конструкции с использованием высокопористых волокнистых материалов [6, 7]. Волокнистые материалы со связующим обладают высокой жесткостью, что позволяет при измерении теплопроводности надежно фиксировать в них датчики температуры – термопары. Особое распространение в качестве как жесткой, так и гибкой теплоизоляции получили материалы на волокнах из аморфного оксида кремния. Среди достоинств высокопористых волокнистых материалов особое место занимают низкая теплопроводность, широкий диапазон рабочих температур, стабильность свойств при многократном нагревании и охлаждении.

Многочисленные работы посвящены расчетным и экспериментальным исследованиям теплопереноса в жестких волокнистых материалах со связующим [8–13]. Для оценки факторов, влияющих на результат измерения теплопроводности, используют, по возможности, аналитические решения с соответствующими упрощениями. В данной статье приведены некоторые результаты численных расчетов, подтверждающих принятые допущения, и модели теплообмена в измерительной ячейке.

Материалы и методы

Для измерения теплопроводности жестких высокопористых волокнистых материалов использованы стационарный метод и экспериментальная установка, которая ранее применялась для определения теплопроводности жесткой теплоизоляции на волокнах из аморфного оксида кремния, карбидов и нитридов стационарным методом на цилиндрических образцах [9, 10]. Метод, с помощью которого измерялась теплопроводность, нельзя в полной мере назвать методом радиального теплового потока. Даже при максимальной достигнутой длине образца 300–360 мм и его диаметре от 40 до 60 мм получить зону одномерного радиального теплового потока не удалось. Кроме того, образцы обладали анизотропией в азимутальном направлении. Измерительная ячейка, состоящая из 6 секций по длине образца, приведена на рис. 1, а. Одна из секций разрезана симметрично пополам для того, чтобы выделить центральную зону всей сборки для размещения в ней датчиков температуры. В трех центральных секциях в одном поперечном сечении на разных радиусах расположены термопары (рис. 1, б). На этом рисунке показан образец с термопарами в трех центральных секциях, внутри которого в охлаждаемых токоподводах установлен нагреватель в виде стержня из молибдена. Кроме того что термопары находятся в одном сечении, они группируются в двух направлениях – в направлении сжатия полуфабриката материала с еще нефиксированными контактами между волокнами и перпендикулярно ему. Это позволяет измерить на цилиндрических образцах теплопроводность с учетом анизотропии, возникающей в жесткой волокнистой теплоизоляции в результате формования сырой волокнистой массы.

При измерении теплопроводности материалов с низкой теплопроводностью на цилиндрических образцах, появилась необходимость расчета тепловых потоков вдоль оси образцов, т. е. пришлось учитывать отклонения от одномерного приближения. Показано, что при изучении материалов с теплопроводностью 0,02–0,04 Вт/(м·К) тепловой поток вдоль оси образца сопоставим с тепловым потоком в радиальном направлении.

На рис. 1, а используются следующие обозначения: Z_mi– координаты сечения размещения термопар; l_i– длина i-й секции образца (3≤i≤5) совпадает с расстоянием между потенциальными отводами, с помощью которых определяют падение напряжения на нагревателе U_i; r_н, r₁ – радиусы стержня нагревателя и внешнего образца; φ – азимут.

В качестве нагревателей использовали стержни диаметром 3 мм из молибдена. Для расчета теплового потока, выделяемого в нагревателе, использованы потенциальные отводы и измерение тока по стержню. Для расчета теплопроводности в трех-пяти центральных секциях образца устанавливали термопары в двух взаимно перпендикулярных направлениях − в направлении сжатия при формовании сырой массы волокон и в плоскости, перпендикулярной сжатию. Для данной задачи зависимостью температуры нагревателя от радиуса можно пренебречь.

Рис. 1. Схема измерительного узла установки и выбора осей координат (а) и общий вид
вакуумной камеры экспериментальной установки по измерению теплопроводности теплоизоляционных материалов стационарным методом на цилиндрических образцах (б)

Обозначим сечения образца, в которых размещены термопары, через z_Fi≡Zm_i (рис. 1, а). Проведем оценку потерь тепла из выбранного сечения z_F. Потери тепла из выбранного сечения происходят и в нагревателе, и в образце. Тепловой поток, используемый для расчета теплопроводности образца в сечении z_F – Q(z_F), отличается от измеряемой энергии, выделяемой в этом сечении нагревателем Q_F, на величину потерь по нагревателю и по образцу от радиуса r_н до места расположения выбранной термопары в точке 

Q(z_F)=Q_F-(z_F)-(r_F, z_F).                                                           (1)

Определим потери тепла по нагревателю. Одномерное стационарное уравнение теплопроводности с внутренними источниками тепла для нагревателя имеет вид

                            (2)

где  – приведенная степень черноты системы «нагреватель–образец»; λ_Н(т) – теплопроводность материала нагревателя; – удельное электросопротивление материала нагревателя; j_н – плотность электрического тока; U_i – падение напряжения на i-м участке нагревателя длиной l_i; L, r_н – длина и радиус нагревателя; Т_в – температура охлаждающей воды; σ₀ – постоянная Стефана–Больцмана.

Представим температуру нагревателя в виде полинома

                                                            (3)

где α_i – коэффициенты разложения в ряд.

Тогда среднее значение Т_н(z)для участка l_i=z_i+1-z_i,где 1≤i≤3, при условии, что измерение падения напряжения U_i проводится, например, на трех участках нагревателя имеет вид

                                          (4)

Увеличивая число потенциальных отводов, можно увеличить число членов ряда (2). Однако расчет показывает, что отличие температурного поля, рассчитанного по измерению падения напряжения на трех участках (i=3), отличается от варианта i=5 не более чем на (5–7)%, что позволяет ограничиться измерением падения напряжения на трех участках нагревателя. Измеряя ток нагревателя и падение напряжения по известным свойствам материала нагревателя и используя систему уравнений вида (3), получим коэффициенты ряда α_i, температурное поле Т_н(z) и тепловой поток Q_Н^П(z_F)

                                      (5)

Для расчета температурного поля в образце Т(r,z) представим его в виде ряда

                                     (6)

где M_i– число термопар в i-й секции образца, число секций с термопарами 5; Q_m – мощность.

Уравнение теплопроводности для образца:

           (7)

где – приведенная степень черноты системы «внешняя цилиндрическая поверхность образца–водоохлаждаемая (температура стенки Т_в) вакуумная камера».

При условии, что коэффициенты не зависят от температуры, уравнения теплопроводности для нагревателя и образца могут быть решены аналитически методом разделения переменных [14, 15]. Решения уравнений (2) и (7) могут быть получены в следующем виде:

– температурное поле в нагревателе

                                         (8)

– температурное поле в образце

                                       (9)

где β_i – постоянные, определяемые из эксперимента; I₀(β₃∙r) – функция Бесселя нулевого порядка; j_н=I_н(π·r_н²)^-1 – плотность тока в нагревателе.

Один из наиболее важных результатов расчета – зависимость ошибки при определении теплопроводности из-за неучета перетоков тепла в зависимости от величины теплопроводности образца (рис. 2). Этот результат в виде отклонения результата измерения, полученного в предположении одномерного радиального теплового потока в образце, от результата, полученного с учетом теплового потока вдоль оси z, может быть представлен в виде уравнений

где λ_ид(Т) – теплопроводность в идеальном случае, когда в цилиндрическом образце есть зона постоянной температуры вдоль оси z (осевые потери тепла по нагревателю и образцу отсутствуют).

Рис. 2. Зависимость относительной ошибки ∆λ(T) при определении результата измерения от теплопроводности образцаλ(T)

Как видно из данных рис. 2, при относительной ошибке не более 5% такое приближение возможно при изучении материалов с теплопроводностью >2 Вт/(м∙К). Для теплоизоляционных материалов с теплопроводностью ~0,05 Вт/(м∙К) ошибка может составлять >80%.

Для оценки перетоков тепла в сечении z=const при измерениях образцов с анизотропией свойств, возникающей при формовании полуфабриката по боковой поверхности цилиндрического образца, рассмотрим результаты аналитического решения двумерного температурного поля. В этой задаче температура изменяется только по радиусу и азимуту Т(r, φ). Предположим, что температуру образца в сечении z=const можно записать по аналогии с эллипсом в виде

                                   (12)

где

Уравнение теплопроводности для этого случая:

                    (13)

при граничных условиях

где T_ст − температура стенки; ε_пр – приведенная  степень черноты.

В данном случае при условии постоянства коэффициентов также можно использовать метод разделения переменных и получить, применяя разложение в ряд Фурье по тригонометрическим функциям и используя в качестве граничных условий экспериментальные значения температуры Т(r₁, 0), выражение для температуры в виде

      (14)

где a_k, b_k – коэффициенты разложения в ряд Фурье; T(r₁, 0) – измеренное значение температуры; параметр может быть представлен в виде

                                                                       (15)

Тепловой поток в точке F(r_F,z_F, φ_F) будет отличаться от потока, входящего в сечение z_F в направлении φ_F от нагревателя на величину аксиальных потерь Q^п_φ(r_F,z_F,φ_F):

                      (16)

Используем в качестве дополнительного условия то обстоятельство, что радиальный тепловой поток в анизотропном теле, усредненный по азимуту φ –   будет отличаться от теплового потока, полученного в изотропном приближении – Q_r(r), на величину аксиальных перетоков (r, φ). В таком случае, используя уравнения (14) и (15), получаем, что для относительной плотности теплового потока в радиальном направлении выполняется соотношение

                                                            (17)  

Тогда выражение для относительной плотности теплового потока можно получить в виде

                                                    (18)

Результаты и обсуждение

На рис. 3 представлена зависимость относительной плотности радиального теплового потока δq_r(φ) при разных коэффициентах анизотропии k=λ_min/λ_max.

Рис. 3. Отношение радиального теплового потока в анизотропном теле к потоку, усредненному по углу , в зависимости от коэффициента анизотропии k=λ_min/λ_max

Видно, что, определив предварительно коэффициент анизотропии k=λ_min/λ_max, можно определить угол φ, располагая термопары в котором, можно перейти к решению не трех-, а двумерной задачи при обработке результатов эксперимента. Это может сократить время на обработку результатов при изучении свойств серии близких по характеристикам образцов. Соотношение площадей внутри фигур для различных значений k на рис. 3 соответствует соотношению тепловых потоков при различных коэффициентах анизотропии на расстоянии радиуса r=r₁, так как в качестве дополнительного граничного условия в выражении (15) использовано измеренное значение температуры в образце T(r₁, 0).

Сравнивая выражения для тепловых потоков в уравнениях (11) для λ_ид и (18), можно получить соотношение, представленное графически на рис. 4:

                                             (19)

Рис. 4. Зависимости   от коэффициента анизотропии k

Видно, что для материалов с 0,3≤k≤1 измерения λ_max, рассчитанные в приближении изотропии материала образца, отличаются от действительных значений λ_max не более чем на ±10%. Это обстоятельство может быть использовано, по крайней мере, для экспресс-анализа экспериментальных результатов.

Рассмотрим справедливость применения выбранной модели теплообмена между нагревателем и образцом с использованием численных решений уравнений теплопроводности для нагревателя (2) и образца (7). Образец высокопористого волокнистого материала плотно контактировал с нагревателем, при этом использована модель радиационного теплообмена. На рис. 5 показаны результаты расчета температурных полей при выборе моделей кондуктивного и радиационного теплообмена. Видно, что выбор в качестве граничного условия модели кондуктивного теплообмена, когда температура поверхности нагревателя равна температуре на внутренней цилиндрической поверхности образца (граничное условие четвертого рода), приводит к нереально высоким значениям температуры.

При выборе модели теплообмена за счет излучения рассчитанные значения отличаются от измеренных в пределах ±10%. Для конкретного случая, приведенного на рис. 5 и в таблице, отклонение находится в пределах ±5,5%, что является приемлемым результатом.

Рис. 5. Температурные поля в трех центральных секциях образца с координатами термопары 3,0 (-·-); 3,7(- -) и 5,1 мм (─)

Результаты расчетов модели теплообмена за счет излучения

В верхней части рис. 5 приведены три зависимости для модели теплообмена нагревателя с образцом при условии идеального контакта, в нижней части – в условиях теплообмена за счет излучения. Знаком «звездочка» отмечены экспериментальные значения температуры (см. таблицу).

Из данных таблицы следует, что отклонения расчетных температурных полей при использовании модели радиационного теплообмена отличаются от измеренных в пределах погрешности измерений.

На рис. 6 показаны результаты расчета влияния теплопроводности образцов на температуру нагревателя. Видно, что при одном и том же токе нагревателя 328 А его температура возрастает в 2 раза при измерении образца с теплопроводностью 0,1 Вт/(м·К) по сравнению с образцом с теплопроводностью от 10 до 100 Вт/(м·К). При этом в центральной зоне, очевидно, отсутствует участок, где можно считать температурное поле в нагревателе и образце одномерным.

Рис. 6. Зависимость температуры нагревателя внутри трех центральных образцов с термопарами от теплопроводности этих образцов, Вт/(м∙К): 0,1 (-·-); 1 (– –); 10 (─) и 100 (- -)

На рис. 7–9 приведены результаты измерения теплопроводности анизотропных материалов на волокнах оксида кремния и муллита в вакууме и инертной газовой среде.

Рис. 7. Зависимость теплопроводности от температуры материала на волокнах из SiO₂
плотностью 140–150 кг/м³: 1, 3, 4 – эксперимент (1 – аргон 10⁵ Па; 3 – азот 10⁵ Па; 4 – вакуум 10^-2 Па); 2, 5 – расчет (2 – воздух 10⁵ Па; 5 – вакуум 10^-2 Па)

Рис. 8. Влияние анизотропии на зависимость теплопроводности от температуры материала на волокнах из SiO₂ плотностью 140–150 кг/м³ (эксперимент, аргон 10⁵ Па): 
1 – теплопроводность в направлении, перпендикулярном направлению сжатия при формовании полуфабриката; 2 – теплопроводность в направлении сжатия

Рис. 9. Зависимость теплопроводности от температуры материала на волокнах из Al₂O₃∙SiO₂: 1, 3 – эксперимент в среде аргона при давлении газа 10⁵ Па; 2, 4 – расчет

Заключения

Модифицированный стационарный метод радиального теплового потока (метод «цилиндра») с учетом осевых перетоков тепла может быть использован для измерения теплопроводности широкого класса материалов, в том числе и теплоизоляционных.

При расчете аксиальных перетоков тепла метод может быть использован для измерения теплопроводности анизотропных материалов.

Выведены зависимости, позволяющие с достаточной для решения инженерных задач точностью определять необходимость учета перетоков тепла в измерительной зоне при изучении теплопроводности теплоизоляционных и анизотропных материалов.

Измерена теплопроводность высокопористых анизотропных теплоизоляционных материалов на волокнах тугоплавких оксидов, карбидов и нитридов в общем интервале температур от 20 до 1700 °С.