Введение

Экспериментально и теоретически установлено, что возможность применения того или иного расчетного метода зависит от соотношения размеров тела [1]. Поэтому в строительной механике по геометрическому признаку все элементы расчетных моделей традиционно классифицируются на три типа:

1. Стержень (рис. 1, а) – прямолинейный объект, у которого один из размеров намного больше двух других, т. е. два размера (b и h) находятся в пределах одного порядка, а третий (l) находится в пределах другого (большего) порядка.

Основными характеристиками стержня являются его ось (геометрическая форма оси) и поперечное сечение (геометрические характеристики профиля).

2. Оболочка (рис. 1, б) – объект, у которого один из размеров значительно меньше двух других, т. е. два размера (b и l) находятся в пределах одного порядка, а третий (l) находится в пределах другого (меньшего) порядка. В расчетной схеме оболочку представляют срединной поверхностью и толщиной.

Частным случаем оболочки является пластина (плита) – оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость (рис. 1, в).

3. Трехмерное тело (массив – рис. 1, г) – объект, у которого все три габарита соизмеримы, т. е. находятся в пределах одного порядка.

Рис. 1. Основные типы расчетных моделей:

а – стержень; б – оболочка; в – пластина; г – трехмерное тело

Задачи устойчивости стержней и пластин решаются в рамках классических теорий, основанных на гипотезах Эйлера–Бернулли (стержни) и Кирхгофа (пластины). В частности, классическая теория изгиба стержней основана на гипотезе плоских сечений. Предполагается также, что напряжения в направлениях, перпендикулярных к продольным волокнам, пренебрежимо малы [2, 3]. При построении прочностных моделей тонких пластин обычно используются две основные гипотезы – гипотеза жесткой нормали, аналогичная гипотезе плоских сечений при изгибе и растяжении стержней, и гипотеза двухосного напряженного состояния пластины (нормальными и касательными напряжениями в площадках, перпендикулярных поверхности пластины, можно пренебречь) [4–6].

Критическая сила потери устойчивости Р_кр для стержня при сжатии определяется по формуле Эйлера [7–9]:

                                                        (1)

где l – длина стержня; µ – коэффициент приведения длины (при защемленных концах стержня µ=0,5); J_min – минимальный момент инерции стержня (для стержня прямоугольного сечения J_min=bh³/12, где b, h – ширина и толщина стержня).

Критическая сила потери устойчивости пластины при сжатии определяется по формуле [10–15]:

                                                          (2)

                                                                  (3)

                                                             (4)

где K – усредненный коэффициент устойчивости; D – цилиндрическая жесткость пластины; a, b, h – длина, ширина и толщина пластины; Е, v – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пластины.

Выбор формулы для расчета устойчивости пластины основывается на анализе ее геометрической формы – в частности, пластину условно можно принять за стержень с тонким прямоугольным сечением и при расчете критической силы потери устойчивости применить формулу Эйлера. Однако некоторые авторы [16] предполагают, что стержень прямоугольной формы может быть условно принят за пластину только в условиях цилиндрического изгиба. К тому же при расчетах устойчивости пластин результаты, полученные по формулам (1) и (2), могут существенно различаться [17–21]. Это связано с тем, что в формуле (2) в отличие от формулы Эйлера учитывается коэффициент Пуассона материала. Причем чем больше ширина пластины, тем больше влияние коэффициента Пуассона на устойчивость пластины при сжатии [22].

В работе проведена оценка степени соответствия численных решений критических нагрузок при сжатии их значениям, полученным по аналитическим формулам, для прямоугольной пластины с защепленными поперечными кромками при различных геометрических и физико-механических параметрах.

Работа выполнена в рамках реализации комплексной научной проблемы 3.3. «Технология прогнозирования свойств, моделирования и реализации современных процессов конструирования и производства изделий из неметаллических и композиционных материалов с использованием цифровых методов, совместимых с CAD/CAM/CAE и PLM системами» («Стратегические направления развития материалов и технологий их переработки на период до 2030 года») [23–25].

Материалы и методы

Для проведения испытаний на потерю устойчивости при сжатии использовались пластины из алюминиевого сплава 1441 (рис. 2).

Рис. 2. Эскиз образца (а) и фотографии пластин из сплава 1441 (б) для испытаний на потерю устойчивости при сжатии

Рассчитывали однородные пластины постоянной толщины с защемленными поперечными кромками. Расчет критических усилий выполнен аналитически по формулам (1), (2) и методом конечных элементов (МКЭ) на основе бифуркационной постановки задачи с использованием программного комплекса ANSYS Mechanical APDL 14.5. Бифуркационная постановка задачи устойчивости базируется на следующих предположениях: начальное невозмущенное состояние равновесия тела описывается уравнениями линейной теории упругости; зависимости закона Гука справедливы не только для начального состояния, но и при малых отклонениях от него; изменениями размеров и формы тела в начальном состоянии можно пренебречь (тело напряжено, но не деформировано) [26]. Использование этих предположений дает возможность свести задачу устойчивости к задаче на собственные значения для линейных однородных уравнений нейтрального равновесия пластины при заданных краевых условиях. Из условия существования нетривиального решения этих уравнений определяются критические параметры нагружения и с точностью до произвольной постоянной – конфигурация пластины после потери устойчивости.

При создании модели использовали многослойные оболочечные конечные элементы SHELL181. Данные элементы имеют форму прямоугольника с четырьмя узлами по углам. Нагружение пластины осуществляли заданием распределенных усилий на ее коротких гранях.

Для проверки адекватности математической компьютерной модели полученные с помощью МКЭ результаты сравнивали с результатами расчета по формулам (1) и (2) для четырех значений коэффициента Пуассона. Приняты следующие условия: размеры стержня 2×0,02 м, толщина 0,002 м; материал – алюминий (E=70 ГПа). При разбиении стержня на конечные элементы приняты следующие условия: один конечный элемент – на толщину стержня; 10 конечных элементов – на ширину стержня; 100 конечных элементов – на длину стержня.

Можно отметить совпадение результатов расчетов по МКЭ с результатами расчетов по формуле Эйлера (табл. 1). При увеличении значений v увеличивается разность в расчетах Р_кр по формулам (1) и (2), причем при ν=0,45 она составляет 20,42%.

Таблица 1

Результаты расчетов устойчивости тонкого (b/h > 10) стержня

по аналитическим формулам и c помощью метода конечных элементов (МКЭ)

Результаты расчетов стержня c использованием программного комплекса ANSYS соответствуют результатам расчетов по формуле Эйлера, что свидетельствует об адекватности математической модели, которая будет взята за основу для дальнейших расчетов устойчивости.

Результаты и обсуждение

Проведены испытания на потерю устойчивости образцов из сплава 1441 при 20°С с различными скоростями перемещения активного захвата. Модуль упругости при сжатии пластины – Е=80 ГПа, размеры образца 110×47×0,5 мм, коэффициент приведения длины – µ=0,5. Испытания образцов осуществляли в два этапа:

I – нагружение пластины до деформации, равной 0,2%, с дальнейшей полной разгрузкой образца;

II – повторное нагружение образца до величины перемещения активного захвата, равного 80% от исходного расстояния между захватами.

Проведенные испытания не показали зависимости критической силы потери устойчивости от скорости нагружения образца (рис. 3, а).

При повторном нагружении критическая сила потери устойчивости образца была на 2–10% ниже критической силы потери устойчивости образца при первом нагружении, что вызвано пластической деформацией образца при первом нагружении в области крепления его в захватах испытательной машины, из-за которой в образце появляется небольшой исходный прогиб (рис. 3, б).

Рис. 3. Диаграмма сжатия образца до деформации 0,2 (а) и 80% (б) при различной скорости нагружения

Результаты эксперимента отличались от результатов, полученных по формуле Эйлера, на 18–30%. При сравнении экспериментальных данных с результатами, полученными по формуле для расчета устойчивости пластин, разница с расчетом составляла 25–37%. Результаты, полученные с помощью МКЭ, были больше, чем результаты расчетов, полученные по формуле (1), но меньше, чем результаты расчетов, полученные по формуле (2) (табл. 2).

Расхождение в расчетных и экспериментальных значениях критической силы потери устойчивости образцов объясняется высокой чувствительностью характеристики к геометрическим размерам образца, который всегда имеет некоторую (хотя бы и небольшую) начальную кривизну.

Таблица 2

Результаты испытаний на потерю устойчивости образцов из сплава 1441

и их сравнение с расчетными данными*

Условный номер образца	Скорость нагружения, мм/мин	Значения критической силы потери устойчивости, Н, при эксперименте по этапу
		I (Ркр I)	II (Ркр II)
1	25	88,9	86,6	2,66	-30,44	-36,69
2	25	96,4	89,9	7,23	-24,57	-31,35
3	50	104,6	94,7	10,45	-18,15	-25,51
4	75	94,1	92,1	2,17	-26,37	-32,99
5	100	92,6	89,8	3,12	-27,54	-34,06
6	600	93,9	89,3	5,15	-26,53	-33,13

* Критическая сила потери устойчивости Р_кр при расчете по формулам (1) и (2) соответственно 127,8 и 140,43 Н, а при расчете с помощью метода конечных элементов 135,18 Н.

Расчеты критической силы потери устойчивости Р_кр при распределенной сжимающей нагрузке Р выполнены для защемленных по двум поперечным граням пластин с различными упругими свойствами: модулем упругости 70; 110 и 210 ГПа; коэффициентом Пуассона, равном 0,1; 0,3 и 0,45. Геометрические размеры пластин: длина a=0,1 м, толщина h=0,002 м, ширина b – переменная.

При разбиении модели на конечные элементы приняты следующие условия: один конечный элемент – на толщину пластины; по 100 конечных элементов – на ширину и длину пластины. Результаты расчета по МКЭ с использованием программного комплекса ANSYS сравнивали с результатами аналитических решений по формулам (1) и (2). В качестве примера в табл. 3 приведены значения Р_кр для алюминиевых пластин (E=70 ГПа).

Таблица 3

Сравнение результатов расчетов устойчивости защемленных

по двум поперечным кромкам алюминиевых пластин

по аналитическим формулам и с помощью МКЭ (E=70 ГПа)

Следует отметить линейную зависимость аналитических рассчитанных значений Р_кр от ширины пластины. В частности, для пластин шириной 2 см (a/b=5) и 20 см (a/b=0,5) значения Р_кр различаются в десять раз, т. е. пропорционально различию в размерах пластины. С увеличением ширины пластины растет различие в результатах расчетов по формуле (1) и МКЭ (табл. 4).

Таблица 4

Степень совпадения результатов расчетов устойчивости пластин,

защемленных по двум поперечным кромкам, по аналитическим формулам* и МКЭ, %

* Аналитические формулы 

Для широких пластин тенденция иная: при уменьшении ширины пластины увеличивается различие в результатах расчетов по формуле (2) и расчетов по МКЭ. Для пластины с соотношением сторон a/b=2,75 с n=0,3 и v=0,45 результат расчета по МКЭ является средним значением результатов, полученных по формулам (1) и (2). Таким образом, результаты численных расчетов при a/b≥2,75 приближаются к результатам, полученным по формуле (1), а при a/b≤2,75 – к результатам, полученным по формуле (2), и Р_{кр (1)}≤Р_{кр, МКЭ}≤Р_{кр (2)}. Значения коэффициентов устойчивости, полученные по МКЭ, незначительно отличаются от значений, полученных аналитически по формуле (2) (рис. 4), что свидетельствует об адекватности численных расчетов. Расчетные коэффициенты K_ANSYSопределяли по формуле

                                                           (5)

Рис. 4. Зависимость коэффициента K для защемленных кромок пластины от соотношения a/b (длина/ширина) и коэффициента Пуассона пластины:

K – значения расчетного коэффициента, полученные аналитически по формуле (2); K_ANSYS – значения расчетного коэффициента, полученные с помощью МКЭ

С увеличением коэффициента Пуассона значение критической силы потери устойчивости пластины растет, растет и различие в результатах расчетов по МКЭ и аналитическим формулам (табл. 3). При изменении модуля упругости пластины погрешность численных расчетов относительно результатов, полученных по формулам (1) и (2), не изменяется.

Во всех рассмотренных случаях различие в результатах расчетов по формулам (1) и (2) для v, равном 0,1; 0,3 и 0,45, составляет ~1; 9 и 20,25% соответственно. Таким образом, результаты расчетов по формуле (1) отличаются от результатов расчетов по формуле (2) в 100v² раз. Отсюда формулу для расчета устойчивости пластины по Эйлеру с учетом коэффициента Пуассона можно представить как

                                                           (6)

Заключения

Результаты проведенных испытаний на потерю устойчивости образцов из сплава 1441 с различными скоростями деформирования показали, что скорость деформирования не влияет на критическую силу потери устойчивости.

Сравнение результатов расчета по формуле Эйлера с результатами эксперимента показывает, что результаты расчета выше экспериментальных данных на 18–30%. При сравнении экспериментальных данных с результатами, полученными по формуле для расчета устойчивости пластин, разница с расчетом была в интервале 25–37%.

Расхождение в расчетных и экспериментальных значениях критической силы потери устойчивости образцов объясняется высокой чувствительностью данной характеристики к геометрической форме образца, который всегда имеет некоторую (хотя бы и небольшую) начальную кривизну.

Значения критической силы потери устойчивости пластин, полученные методом конечных элементов (МКЭ) в программном комплексе ANSYS, превышают значения, полученные по формуле Эйлера для стержней, но меньше результатов расчетов, полученных по формуле для пластин.

Без учета коэффициента Пуассона результаты численных расчетов по МКЭ соответствуют результатам, полученным по формуле Эйлера. С увеличением коэффициента Пуассона повышается отличие результатов численного и аналитических расчетов.

Результаты расчетов по МКЭ при a/b≥2,75 приближаются к результатам, полученным по формуле Эйлера, а при a/b≤2,75 – к результатам, полученным по формуле для расчета устойчивости пластин.

Степень совпадения результатов расчетов устойчивости пластин по формуле Эйлера и формуле для пластин пропорциональна квадрату коэффициента Пуассона.