Введение

Проектирование современных воздушных судов по принципу «безопасного повреждения» допускает появление повреждения конструкции и его развитие в процессе эксплуатации до некритических размеров. Во время эксплуатации это повреждение должно быть обнаружено и конструкция отремонтирована. Такой подход требует многопутной (статически неопределимой) конструкции, где силовые элементы подстраховывают друг друга, и подразумевает использование материалов с высокими характеристиками сопротивления развитию повреждаемости и разрушению, гарантирующими межремонтный срок эксплуатации. С целью определения оптимального, контролируемого при эксплуатации критерия разрушения рассмотрены модели энергетического, силового и деформационного критериев разрушения нагружаемых тел. Показано, что в пределах упругой деформации (только для хрупких тел) критерии взаимосвязаны и определяются величиной удельной объемной энергии, необходимой для образования или развития имеющейся поверхности разрушения (длины трещины). При этом учитывается, что не вся затраченная при образовании новой свободной поверхности энергия идет на образование поверхности. Часть энергии (диссипативная энергия) рассеивается в виде тепла, звуковых и электромагнитных волн. Предложена модель разрушения, в которой формула Гриффитса является частным случаем.

Для тел, в которых проходит пластическая деформация, часто сопровождающаяся, как и разрушение, изменением величины свободной поверхности, вопрос определения величины удельной объемной энергии, необходимой для образования новой поверхности, более сложен, чем в случае хрупкого тела. Пластическая деформация одновременно включает в себя процесс сопротивления тела нагружению и процесс сопротивления тела разрушению. Основным отличием от хрупкого разрушения является явная зависимость процесса пластического деформирования от фактора времени. В случае хрупкого разрушения изменение свободной поверхности происходит быстро и фактором времени можно пренебречь. При пластической деформации величина деформации и скорость ее протекания могут служить критериями повреждаемости и разрушения.

Расчетные методы определения работоспособности и повреждаемости конструкций в процессе эксплуатации разрабатываются с учетом результатов большого количества испытаний образцов из материалов конструкций [2–15], поскольку предполагается, что механизмы накопления повреждений и развития разрушения за счет роста трещин (появления новых свободных поверхностей) для конструкций и образцов одинаковы. В работах [16, 17] показано, что на стадиях развития пластических деформаций оценка повреждаемости и долговечности по деформационному критерию лучше обеспечивает безопасность конструкций по сравнению с возможностями силового и энергетического критериев.

Задача данной работы – сравнение энергетического, силового и деформационного критериев на стадии роста трещины усталости с целью определения оптимального для контроля при эксплуатации критерия разрушения.

Модели критериев разрушения

Широко известен критерий разрушения твердого тела с дефектом в виде трещины, разработанный Гриффитсом [18]. При получении критерия  рассматривалась растягиваемая изотропная бесконечная пластина конечной толщины, в которой имеется трещина (рис. 1). Длина трещины 2l значительно меньше ширины пластины b (теоретически эта величина бесконечна).

Рис. 1. Пластина со сквозной трещиной

При продвижении трещины в пластине, нагруженной на бесконечности напряжением σ, на величину δl упругая энергия в пластине преобразуется в поверхностную энергию трещины. На основе закона сохранения энергии представлено следующее уравнение:

δГ+δW=0 при δl>0,                                                      (1)

где δГ – приращение поверхностной энергии; δW – уменьшение потенциальной энергии за счет разгрузки области около трещины при ее продвижении на δl.

В результате принятых Гриффитсом допущений [18, 19] о величине удельной объемной энергии упругой деформации, разгрузке и освобождении упругой энергии в области в виде эллипса с осями 2l и l и толщиной t, величине свободной поверхности трещины из уравнения (1) получен критерий в виде

     ,                                                              (2)

где σ – напряжение разрушения; Е – модуль упругости; γ – работа, затраченная на образование единицы новой поверхности (поверхностная энергия); l– полудлина трещины.

Гриффитс на полученных результатах разрушения тонкостенных стеклянных образцов показал, что величина  является константой материала. Модель Гриффитса изначально предполагает наличие трещин в материале и рассматривает разрушение как развитие трещины. Основной характеристикой трещины является ее длина (линейный размер). Разрушение начинается при достижении в вершине трещины заданной длины критического напряжения.

Ограничения модели связаны, прежде всего, с представлением трещины только одним ее размером – длиной. Фактически трещина представляет собой поверхность и должна характеризоваться величиной площади поверхности. Модель Гриффитса, несмотря на то, что получена из закона сохранения энергии, – представляет собой силовой критерий. Она не учитывает рассеяние энергии при развитии трещины, вследствие чего дает завышенное значение прочности или критической длины трещины, а также исключает начальную стадию появления дефекта, не рассматривает разрушение как появление и развитие одной или нескольких свободных поверхностей.

Авторы разработали модель хрупкого разрушения, в которой исключены ограничения модели Гриффитса [20, 21]. Рассмотрим пластину (рис. 2), в части объема V₁ которой образуются одна или несколько трещин. Размеры объема V₁ отвечают следующим условиям: упругая энергия в нем распределена равномерно по всему объему, а величина дополнительной энергии концентрируется либо в произвольной точке данного объема, когда в нем нет концентраторов энергии, либо на концентраторах энергии (дефектах или границах трещин).

Рис. 2. Пластина, в части объема V₁ которой образуются одна или несколько трещин

Удельная объемная энергия упругой деформации U для равномерно растянутой пластины, в том числе и ее объема V₁, равна полной энергии А (работе, затраченной на упругое деформирование объема V₁), деленной на объем:

,                                                (3)

где А – полная работа, затраченная на деформирование объема V₁; V₁ – начальный объем тела до деформации; ΔV – приращение объема при деформации; ε – деформация; μ – коэффициент Пуассона.

Поскольку ε(1-2μ)<<1,то U можно представить как

    .                                                   (4)

Удельную объемную энергию упругой деформации можно представить в виде следующего выражения

      ,                                                      (5)

где k– константа; d– константа; ε_у – предельная упругая деформация; σ_y – предельное упругое напряжение.

Теоретически удельная объемная энергия упругой деформации представляет собой энергию, сосредоточенную в точке тела. Пусть в некоторой  области объема V₁ (рис. 2) накопленная потенциальная энергия деформирования превысит значение  на величину A_доп. Условие начала процесса хрупкого разрушения в области: A_доп>0. Формула (6) представляет собой равенство энергий в объеме V₁ до начала процесса разрушения и после образования одного очага разрушения со свободной поверхностью площадью S:

,                                  (6)

где γ – работа, затраченная на образование единицы новой поверхности (поверхностная энергия);  – диссипативная энергия тепловых и звуковых волн из зоны разрушения (константа) при образовании единицы новой поверхности; V₂ – объем разгруженной области вокруг образовавшейся свободной поверхности S.

Для многоочагового разрушения формула (6) примет вид

,                           (7)

где n – число новых свободных поверхностей; V_i – объем разгруженной области вокруг образовавшейся свободной поверхности S_i из области объемом V₁; S_i – площадь одной из n образовавшихся свободных поверхностей.

Объем V₂ вокруг образовавшейся свободной поверхности S с учетом размерности можно представить в виде

                          V₂=aS^3/2,                                                                 (8)

где a – безразмерная константа, определяемая ориентацией свободной поверхности в поле энергии упругой деформации.

Из уравнения (6) следует, что

        ,                                                     (9)

где B – константа, равная 

Представим формулу (9) графически (рис. 3).

Рис. 3. Изменение потенциальной энергии в объеме V₁:

1 – рост энергии по линейному закону за счет образования свободной поверхности  2 – уменьшение энергии за счет разгрузки объема V₂ вокруг свободной поверхности (BS^3/2); 3 – изменение потенциальной энергии объема V₁ в зависимости от площади свободной поверхности; 4, 5 – случай многоочагового разрушения

Продифференцируем дополнительную энергию по площади образовавшейся поверхности S:

,                                                      (10)

где  – увеличение потенциальной энергии при образовании единицы новой поверхности (константа);  – константа.

Если полученное выражение (производная ):

– A₁-B₁S^1/2>0, то дополнительной энергии достаточно для образования дефекта со свободной поверхностью S, но недостаточно для развития разрушения в объеме V₁; за счет образования новой поверхности тело поглощает энергию и таким образом сопротивляется дальнейшему разрушению (разрушаясь, сопротивляется дальнейшему разрушению);

– A₁-B₁S^1/2=0, то данный случай является критическим состоянием, при котором любое приращение энергии приведет к разрушению за счет накопленной в объеме V₁ потенциальной энергии;

– A₁-B₁S^1/2<0, то происходит разрушение образца.

Предложенный механизм хрупкого разрушения включает все стадии:

– образование дефекта при подаче в нагруженную область 

– рост дефекта при добавлении к энергии А_доп1 энергии А_доп2 таким образом, что 

Поскольку , то появление и развитие только одной свободной поверхности S (меньше S_кр) быстрее приведет к разрушению, чем появление нескольких свободных поверхностей  что подтверждается экспериментальными результатами.

Материалы с высокими значениями модуля упругости имеют меньший критический размер дефекта, так как 

При образовании свободной поверхности энергетически выгодно образование поры в виде сферы. Сфера, при минимальной поверхности, позволяет разгрузить максимальный объем. Безразмерная константа a для сферы принимает значение 1/(6π^1/2), и максимальный радиус поры можно получить из уравнения

.                                           (11)

Уравнение (11) показывает, что критический размер поры прямо пропорционален величине поверхностной энергии и обратно пропорционален удельной объемной энергии упругой деформации. Приняв γ≈1 Дж/м² [22] и пренебрегая энергией диссипации, для алюминиевого сплава с модулем упругости Е≈70 ГПа при упругой деформации ε=0,005 получим значение R_max≈2 мкм.

Выведем из полученной модели (6) и уравнения (10) формулу Гриффитса. Из уравнения (6) следует уравнение (9), в котором при допущениях Гриффитса S=4tl, V₂=2πl²t, , получаем

.                                         (12)

Если S=4tl (где t=const), ∂S=4t∂l, тогда , что можно представить как

                         (13)

В теле без трещины при ее образовании и росте до критического размера решающее значение имеют параметры γ,  и U. При этом чем больше значение U, тем меньше величина l_кр.

Точно так же, как и Гриффитс, получаем, что  является константой материала. При наличии трещины с полудлиной l

                                                            (14)

что соответствует формуле Гриффитса , если пренебречь константой , которую Гриффитс не рассматривал.

Таким образом, если не учитывать диссипативную энергию разрушения, то из полученных формул (6)–(10) можно найти напряжение разрушения Гриффитса. Но из теории Гриффитса нельзя прийти к данной модели, так как Гриффитс рассматривал только один параметр трещины – длину, но не оценивал такую величину, как площадь поверхности трещины. Вопрос о влиянии площади поверхности оставался открытым.

Полученная Гриффитсом константа  в данном случае имеет вид S^1/4σ, что позволяет определить влияние характерных размеров свободной поверхности на прочность образца с трещиной. Например, для трещины Гриффитса получаем

,                                                           (15)

т. е. площадь поверхности трещины может быть заменена полудлиной трещины в частном случае, когда l=4t.

В случаях трещин с поверхностью в виде круга радиусом l (S=2πl²) и квадрата со стороной, равной диаметру круга 2l (S=8l²), получаем, что при равных полудлинах трещина с квадратной поверхностью немного опаснее трещины с поверхностью в виде круга. Увеличение толщины образца – со сквозной трещиной с поверхностью в виде прямоугольника – должно приводить к уменьшению критического напряжения по формуле

   σ=C/t^1/4,                                                              (16)

где С – константа; t – толщина образца.

В таблице представлено сравнение разработанной модели разрушения хрупкого тела с моделью Гриффитса.

Сравнение модели Гриффитса с разработанной моделью разрушения хрупкого тела

Полученные Гриффитсом ( ) и авторами статьи (S^1/4σ) константы имеют одинаковую размерность и предполагают, что предельное напряжение в вершине трещины является силовой характеристикой материала.

Ирвин и Кис [22] предложили оценивать сопротивление материала распространению трещины с помощью энергии, которая освобождается при ее продвижении. В модели Гриффитса эта величина, обозначенная в его честь G и названная интенсивностью освобождающейся энергии, равна [23]

                                                            (17)

и

G_Iс=2γ – см. формулу (2).                                     (18)

В модели, разработанной авторами статьи, освобождающаяся в объеме V₁ энергия равна

,                                       (19)

соответственно интенсивность освобождающейся энергии равна

.                                     (20)

На рис. 4 представлены зависимости интенсивности освобождающейся энергии от размеров трещины по модели Гриффитса и модели, представленной авторами данной статьи.

Рис. 4. Зависимости интенсивности освобождающейся энергии от размеров трещины:

G(l) – модель Гриффитса; G(S) – модель авторов данной статьи; G_Iс – критическая интенсивность освобождающейся энергии; l₀ – исходная длина трещины; S₀ – исходная площадь поверхности трещины; l_c – критическая длина подросшей трещины; S_c – критическая площадь поверхности трещины

Используя параметр G, можно представить энергетический критерий разрушения в форме

G_{(σ, l)}=R(l)                                                      (21)

или

G_{(σ, S)}=R(S).                                                    (22)

Функции R(l) и R(S) представляют зависимости удельного сопротивления (R-кривые) от роста размеров трещины. Трещина длиной l₀ или с площадью поверхности S₀ начнет распространяться либо при условии G(σ₀, l₀)=G_Iс, G(σ₀, S₀)=G_Iс, либо при напряжении σ_c<σ₀, когда трещина подросла за счет изменения внешней нагрузки таким образом, что в локальной зоне вершины трещины выполнялись условия уравнений (21) и (22). При этом в модели авторов данной статьи существует напряжение, меньше которого трещина не растет, что наблюдается на практике. Получается – трещина способна медленно расти и останавливаться сообразно с изменением внешней нагрузки.

В случае упругой деформации силовой и энергетический критерии разрушения являются критериями, оценивающими напряженное и энергетическое состояние материала локально, теоретически – в точке тела. Высокая концентрация напряжения и энергии вызовет, согласно представленным моделям, высокоскоростное полное разрушение. Медленное подрастание трещины возможно только в условиях высокоскоростного изменения внешней нагрузки и достижения неравенства G(σ, l)<R(l).

При наличии у тела способности к пластической деформации острая локализация концентрации напряжения  и энергии становится невозможной. Начало пластического деформирования вызывает рост нагружаемого объема тела при незначительном изменении напряжения. Резко возрастает потребляемая на деформирование энергия, а освобождающаяся энергия упругой деформации увеличивается мало. Увеличение пластичности ведет к унификации критериев разрушения к величине прочности при растяжении или сдвиге. Для тела, обладающего большой пластической деформацией, трещина представляет опасность только из-за уменьшения площади несущего нагрузку сечения.

Как правило, применяемые в авиационной промышленности конструкционные материалы обладают высокими значениями характеристик прочности и средними значениями характеристик пластичности. Повышение сопротивления развитию трещин может быть реализовано путем создания материалов с высокими показателями пластичности, а также материалов со структурой, способной тормозить образование и развитие магистральной трещины – например, за счет ее ветвления или остановки перед армирующими элементами структуры материала. Трещиностойкость таких материалов следует изучать, опираясь на исследования энергетических и деформационных критериев разрушения в силу того, что эти критерии по сравнению с силовым критерием лучше представляют процесс развития трещины при реализации в ее вершине значительных пластических деформаций. Энергетический критерий объединяет действие силы и деформации, деформационный критерий легко связать с процессом повреждаемости материала [16, 17] и отслеживать экспериментально.

Влияние пластической деформации сильнее проявляется и проще исследуется при плоском напряженном состоянии. При испытаниях в условиях плоского напряженного состояния используют образцы в виде пластин с центральным надрезом и определяют:

– критическое значение условного коэффициента интенсивности напряжения

– критическое значение коэффициента интенсивности напряжения K_с;

– остаточную прочность образца в нетто-сечении

– кривую сопротивления распространению трещины при статическом нагружении (R-кривая или (K–R)-кривая), которая представляет собой зависимость между текущим значением коэффициента интенсивности напряжения K_R и приростом эффективной длины трещины;

– критическое раскрытие вершины трещины δ_с;

– J_с – интеграл [22–28].

Рис. 5. Характерные диаграммы «P–υ» типов I (а), II (б), III (в) и IV (г):

α – угол наклона линейного участка диаграммы к оси υ; α₅ – угол наклона прямой 0B к оси υ под углом, тангенс которого на 5% меньше тангенса угла α

При появлении в вершине трещины значительной пластической деформации при нагружении и медленном подрастании длины трещины, условный коэффициент интенсивности напряжения К^у_с – ниже реального, так как при определении К^у_с не учитывается увеличение длины трещины. Определение критического значения коэффициента интенсивности напряжения K_с требует записи диаграммы «нагрузка P–смещение υ» (изменение расстояния между двумя точками на противоположных берегах в середине трещины в процессе нагружения). Диаграмму «P–υ» регистрируют при испытании на растяжение образца с предварительно выращенной трещиной. Скорость нагружения образца устанавливают по скорости перемещения подвижного захвата испытательной машины в пределах от 0,02 до 0,2 мм/с [29–32]. Четыре характерных типа диаграмм «P–υ» (рис. 5) специально представлены с одинаковой величиной максимальной нагрузки в точке С, чтобы наглядно представить рост критического раскрытия вершины трещины δ_с при возникновении в ее вершине пластической деформации.

Критическое раскрытия трещины δ_с [26] определяют по формуле

                                                    (23)

где К^'_с – критический условный коэффициент интенсивности напряжений (обозначается К^'_с вместо К^у_с в случае, когда   µ – коэффициент Пуассона; σ_0,2 – условный предел текучести при растяжении; Е – модуль нормальной упругости; υ_p – условное пластическое смещение υ, соответствующее точке С диаграммы «P–υ».

Полное смещение при нагружении представляет собой сумму упругого смещения, смещений за счет развития пластической деформации и подрастания трещины. Раскрытие трещины складывается из упругой и пластической частей – см. формулу (23). Для образца из листа алюминий-литиевого сплава В-1441-Т1 толщиной 2 мм и шириной 200 мм с характеристиками К^у_с=76МПа , Е=78 ГПа, µ=0,33, σ_0,2=315 МПа получаем упругую часть раскрытия трещины, равную 0,1 мм. Условное пластическое смещение υ_p диаграммы «P–υ», как правило, больше упругого раскрытия.

Вид диаграмм в координатах «P–υ» сходен с видом диаграмм растяжения в координатах «нагрузка Р–абсолютная деформация образца Δl». Величина условного пластического смещения υ_p – аналогично величинам абсолютного и относительного пластического удлинения при растяжении после разрушения – должна служить характеристикой, демонстрирующей сопротивление материала разрушению. Российский стандарт [29] предусматривает определение этой характеристики, но на практике для оценки качества материала ее определяют и используют редко. В работах [33, 34] и зарубежных стандартах [35–38] характеристикам деформации уделяют внимание наравне с силовыми характеристиками. Развитие механики разрушения, совершенствование испытательной техники, позволяющей в настоящее время с помощью современных оптических систем проводить точную оценку деформированного состояния в области вершины трещины, требуют актуализации отечественных стандартов и внедрения в практику оценки качества материалов деформационных характеристик механики разрушения.

Широко предлагаемой к использованию энергетической характеристикой разрушения является J-интеграл, который характеризует работу пластической деформации и разрушения. В стандарте [35] J-интеграл определен как математическое выражение, интеграл по линии или поверхности, которые окружают границу трещины от одной ее поверхности до другой; он используется для оценки локального напряженно-деформированного поля вокруг границы трещины. Строгого теоретического обоснования J-интеграл не имеет. В условиях упругого деформирования J-интеграл определяет интенсивность освобождающейся упругой энергии и равен величине G [35].

На рис. 6 представлена фотография распределения деформаций в конце усталостной трещины в направлении растяжения (перпендикулярно длине трещины). Фотография получена методом 3D-измерений с помощью двух видеокамер. На статическую трещиностойкость испытывали образец, изготовленный из листа титанового сплава ВТ6, шириной 200 мм и толщиной 5,0 мм с центральной трещиной.

Рис. 6. Распределение деформаций в направлении растяжения в конце центральной трещины

Анализ вида распределения деформаций показал, что при медленном подрастании трещины вид деформационного состояния в области ее вершины изменяется незначительно при условии сохранения вида разрушения (отрыв). При переходе при больших брутто-напряжениях к разрушению срезом деформационное состояние в вершине изменяется. Момент перехода отражает появление из вершины трещины хорошо заметных полос скольжения (усов) под углом ~50 град к существовавшему направлению развития трещины.

J-интеграл можно представить в виде суммы

J=J_упр+J_пл ,                                                     (24)

где J_упр – упругая часть интеграла, равная величине упругой энергии, затраченной на образование единицы новой поверхности трещины; J_пл – часть интеграла, характеризующая затраты на пластическое деформирование области около вершины трещины.

Существует взаимосвязь между силовым, деформационным и энергетическим критериями разрушения. В упругой области связь между характеристиками разрушения носит линейный характер:

                           (25)

С появлением в вершине трещины значительных пластических деформаций и подрастании трещины при нагружении диаграмму в координатах «P–υ» используют для построения диаграмм «K–Δа», «δ–Δа», «J–Δа», в которых Δа – величина подрастания трещины в процессе нагружения. Современные автоматизированные визуальные методы измерения позволяют точно определять параметры трещины. Представленные зависимости носят, как правило, степенной характер, аналогичный зависимости G(S), представленной на рис. 4. Используя единый аргумент Δа в представленных диаграммах, можно установить взаимосвязь между значениями K, δ и J.

Малоизученным до настоящего времени является соотношение долей в характеристиках разрушения, вносимых собственно упругой деформацией, пластической деформацией, в том числе с учетом процесса релаксации напряжений в вершине трещины, развитием поверхности разрушения. Особый интерес представляет исследование скорости нагружения на процесс развития разрушения.

Обсуждение и заключения

Рассмотрены силовой, деформационный и энергетический критерии разрушения. Показано, что в упругой области связь между характеристиками разрушения носит линейный характер. Определяющей критерии величиной является величина удельной объемной энергии, необходимой для образования или развития имеющейся поверхности разрушения (длины трещины). При этом учитывается, что не вся затраченная при образовании новой свободной поверхности энергия идет на образование поверхности. Часть энергии (диссипативная энергия) рассеивается в виде тепла, звуковых и электромагнитных волн. За счет этого тело уменьшает свою потенциальную энергию и таким образом сопротивляется дальнейшему разрушению (разрушаясь, сопротивляется дальнейшему разрушению). Предложена модель разрушения, в которой формула Гриффитса является частным случаем. На начальном этапе разрушения энергетически выгодно образование пор в виде сфер. Сфера, при минимальной поверхности, позволяет разгрузить максимальный объем. Критический размер поры прямо пропорционален величине поверхностной энергии и обратно пропорционален удельной объемной энергии упругой деформации.

Способность тела к пластической деформации снимает опасность острой концентрации напряжения и энергии. Начало пластического деформирования вызывает рост нагружаемого объема тела при незначительном изменении напряжения, возрастает потребляемая на деформирование энергия, а энергия упругой деформации увеличивается мало. Полную информацию о протекании процесса разрушения, как и в упругом случае, получают из диаграммы смещения в координатах «P–υ», добавляя к ней данные о подрастании трещины. Построив диаграммы в координатах «K–Δа», «δ–Δа», «J–Δа», получают из них необходимые характеристики разрушения материала.

Следует отметить отсутствие современных отечественных стандартов по экспериментальному определению характеристик разрушения материалов. Развитие материаловедения, механики разрушения, совершенствование испытательной техники, позволяющей проводить точную оценку деформированного состояния в области вершины трещины, опыт последних международных разработок требуют активного внедрения в практику оценки качества материалов деформационных и J-интегральных характеристик разрушения материалов, актуализации имеющихся и разработки новых отечественных стандартов по их экспериментальному определению.